Optimal shape design as a material distribution problem
2
1989
... 目前,拓扑优化理论的发展形成了各具特色的设计方法. 如变密度法[1 -2 ] 、渐进结构法[3 -4 ] 直接将网格单元作为拓扑优化的基本设计要素,通过确定单元的"有"、"无"得到材料的最优分布.由于物理概念清晰简洁且易于编程实现,此类方法已被广泛应用于高端机械产品设计和航空航天飞行器研制中,但所优化得到的结果边界一般呈非光滑的锯齿状.为解决这一问题,借助高维水平集函数隐式设计结构拓扑演化轮廓的水平集法[5 -6 ] 被提出并迅速成长起来.然而,传统水平集法在优化过程中需不断进行重新初始化和速度场扩展等操作,还需限制步长以满足Courant-Friedrichs-Lewy条件,求解效率较低. ...
... 为消除传统变密度法的网格依赖性和棋盘格等数值不稳定现象,Guest等[7 ] 发展出节点密度法,并借助Heaviside阶跃函数得到清晰的0-1材料分布;为克服传统水平集法的数值计算困难以提升其优化效率和通用性,Wang等[8 ] 发明出参数化水平集法,无需直接求解Hamilton-Jacobi偏微分方程且可配合使用成熟的优化算法.节点密度法[9 -10 ] 和参数化水平集法[11 -13 ] 虽属于不同类型的拓扑优化方法,却有着一定的相似之处：结构模型由高一维的隐函数描述,此隐函数又由高阶连续的插值函数构造而成,它在节点密度法中就是具有[0 ,1 ] 界限的密度场,在参数化水平集法中就是水平集函数.Sigmund等[14 ] 认为近期不同类型拓扑优化方法的发展使其之间的差异越来越小.然而,该发展趋势下形成的新方法在减少设计变量方面的效果甚微.节点密度法和参数化水平集法所采用的插值函数的数量需能够保证密度场/水平集函数具有一定的光滑连续性和足够的拓扑描述能力,无疑在二维问题中就要使用上千甚至上万个设计变量. ...
A 99 line topology optimization code written in Matlab
1
2001
... 目前,拓扑优化理论的发展形成了各具特色的设计方法. 如变密度法[1 -2 ] 、渐进结构法[3 -4 ] 直接将网格单元作为拓扑优化的基本设计要素,通过确定单元的"有"、"无"得到材料的最优分布.由于物理概念清晰简洁且易于编程实现,此类方法已被广泛应用于高端机械产品设计和航空航天飞行器研制中,但所优化得到的结果边界一般呈非光滑的锯齿状.为解决这一问题,借助高维水平集函数隐式设计结构拓扑演化轮廓的水平集法[5 -6 ] 被提出并迅速成长起来.然而,传统水平集法在优化过程中需不断进行重新初始化和速度场扩展等操作,还需限制步长以满足Courant-Friedrichs-Lewy条件,求解效率较低. ...
A simple evolutionary procedure for structural optimization
2
1993
... 目前,拓扑优化理论的发展形成了各具特色的设计方法. 如变密度法[1 -2 ] 、渐进结构法[3 -4 ] 直接将网格单元作为拓扑优化的基本设计要素,通过确定单元的"有"、"无"得到材料的最优分布.由于物理概念清晰简洁且易于编程实现,此类方法已被广泛应用于高端机械产品设计和航空航天飞行器研制中,但所优化得到的结果边界一般呈非光滑的锯齿状.为解决这一问题,借助高维水平集函数隐式设计结构拓扑演化轮廓的水平集法[5 -6 ] 被提出并迅速成长起来.然而,传统水平集法在优化过程中需不断进行重新初始化和速度场扩展等操作,还需限制步长以满足Courant-Friedrichs-Lewy条件,求解效率较低. ...
... 值得一提的是,自适应泡泡法的三个主要模块——固定网格分析、孔洞自适应引入和孔洞隐式描述并不局限于采用前面所述的方式,也可分别使用传统有限元方法(边界单元刚度依据单元体分比进行打折)[12 ] 、渐进结构法的材料消除策略[3 ] 以及闭合B样条曲线(closedB-splines)[28 ] .这种替代方案能够以降低一定精度为代价,有效简化结构力学响应和灵敏度等的计算过程,从而大幅提升优化效率.相应的简化后的自适应泡泡法与渐进结构法有着较大的相似性,区别在于前者消除材料的方式是引入边界光滑可变的孔洞,而且孔洞引入的频次和位置可被自适应地调整. ...
Bi-directional evolutionary structural optimization on advanced structures and materials: A comprehensive review
1
2018
... 目前,拓扑优化理论的发展形成了各具特色的设计方法. 如变密度法[1 -2 ] 、渐进结构法[3 -4 ] 直接将网格单元作为拓扑优化的基本设计要素,通过确定单元的"有"、"无"得到材料的最优分布.由于物理概念清晰简洁且易于编程实现,此类方法已被广泛应用于高端机械产品设计和航空航天飞行器研制中,但所优化得到的结果边界一般呈非光滑的锯齿状.为解决这一问题,借助高维水平集函数隐式设计结构拓扑演化轮廓的水平集法[5 -6 ] 被提出并迅速成长起来.然而,传统水平集法在优化过程中需不断进行重新初始化和速度场扩展等操作,还需限制步长以满足Courant-Friedrichs-Lewy条件,求解效率较低. ...
A level set method for structural topology optimization
1
2003
... 目前,拓扑优化理论的发展形成了各具特色的设计方法. 如变密度法[1 -2 ] 、渐进结构法[3 -4 ] 直接将网格单元作为拓扑优化的基本设计要素,通过确定单元的"有"、"无"得到材料的最优分布.由于物理概念清晰简洁且易于编程实现,此类方法已被广泛应用于高端机械产品设计和航空航天飞行器研制中,但所优化得到的结果边界一般呈非光滑的锯齿状.为解决这一问题,借助高维水平集函数隐式设计结构拓扑演化轮廓的水平集法[5 -6 ] 被提出并迅速成长起来.然而,传统水平集法在优化过程中需不断进行重新初始化和速度场扩展等操作,还需限制步长以满足Courant-Friedrichs-Lewy条件,求解效率较低. ...
Structural optimization using sensitivity analysis and a level-set method
1
2004
... 目前,拓扑优化理论的发展形成了各具特色的设计方法. 如变密度法[1 -2 ] 、渐进结构法[3 -4 ] 直接将网格单元作为拓扑优化的基本设计要素,通过确定单元的"有"、"无"得到材料的最优分布.由于物理概念清晰简洁且易于编程实现,此类方法已被广泛应用于高端机械产品设计和航空航天飞行器研制中,但所优化得到的结果边界一般呈非光滑的锯齿状.为解决这一问题,借助高维水平集函数隐式设计结构拓扑演化轮廓的水平集法[5 -6 ] 被提出并迅速成长起来.然而,传统水平集法在优化过程中需不断进行重新初始化和速度场扩展等操作,还需限制步长以满足Courant-Friedrichs-Lewy条件,求解效率较低. ...
Achieving minimum length scale in topology optimization using nodal design variables and projection functions
1
2004
... 为消除传统变密度法的网格依赖性和棋盘格等数值不稳定现象,Guest等[7 ] 发展出节点密度法,并借助Heaviside阶跃函数得到清晰的0-1材料分布;为克服传统水平集法的数值计算困难以提升其优化效率和通用性,Wang等[8 ] 发明出参数化水平集法,无需直接求解Hamilton-Jacobi偏微分方程且可配合使用成熟的优化算法.节点密度法[9 -10 ] 和参数化水平集法[11 -13 ] 虽属于不同类型的拓扑优化方法,却有着一定的相似之处：结构模型由高一维的隐函数描述,此隐函数又由高阶连续的插值函数构造而成,它在节点密度法中就是具有[0 ,1 ] 界限的密度场,在参数化水平集法中就是水平集函数.Sigmund等[14 ] 认为近期不同类型拓扑优化方法的发展使其之间的差异越来越小.然而,该发展趋势下形成的新方法在减少设计变量方面的效果甚微.节点密度法和参数化水平集法所采用的插值函数的数量需能够保证密度场/水平集函数具有一定的光滑连续性和足够的拓扑描述能力,无疑在二维问题中就要使用上千甚至上万个设计变量. ...
Radial basis functions and level set method for structural topology optimization
1
2006
... 为消除传统变密度法的网格依赖性和棋盘格等数值不稳定现象,Guest等[7 ] 发展出节点密度法,并借助Heaviside阶跃函数得到清晰的0-1材料分布;为克服传统水平集法的数值计算困难以提升其优化效率和通用性,Wang等[8 ] 发明出参数化水平集法,无需直接求解Hamilton-Jacobi偏微分方程且可配合使用成熟的优化算法.节点密度法[9 -10 ] 和参数化水平集法[11 -13 ] 虽属于不同类型的拓扑优化方法,却有着一定的相似之处：结构模型由高一维的隐函数描述,此隐函数又由高阶连续的插值函数构造而成,它在节点密度法中就是具有[0 ,1 ] 界限的密度场,在参数化水平集法中就是水平集函数.Sigmund等[14 ] 认为近期不同类型拓扑优化方法的发展使其之间的差异越来越小.然而,该发展趋势下形成的新方法在减少设计变量方面的效果甚微.节点密度法和参数化水平集法所采用的插值函数的数量需能够保证密度场/水平集函数具有一定的光滑连续性和足够的拓扑描述能力,无疑在二维问题中就要使用上千甚至上万个设计变量. ...
Structural topology optimization based on non-local Shepard interpolation of density field
1
2011
... 为消除传统变密度法的网格依赖性和棋盘格等数值不稳定现象,Guest等[7 ] 发展出节点密度法,并借助Heaviside阶跃函数得到清晰的0-1材料分布;为克服传统水平集法的数值计算困难以提升其优化效率和通用性,Wang等[8 ] 发明出参数化水平集法,无需直接求解Hamilton-Jacobi偏微分方程且可配合使用成熟的优化算法.节点密度法[9 -10 ] 和参数化水平集法[11 -13 ] 虽属于不同类型的拓扑优化方法,却有着一定的相似之处：结构模型由高一维的隐函数描述,此隐函数又由高阶连续的插值函数构造而成,它在节点密度法中就是具有[0 ,1 ] 界限的密度场,在参数化水平集法中就是水平集函数.Sigmund等[14 ] 认为近期不同类型拓扑优化方法的发展使其之间的差异越来越小.然而,该发展趋势下形成的新方法在减少设计变量方面的效果甚微.节点密度法和参数化水平集法所采用的插值函数的数量需能够保证密度场/水平集函数具有一定的光滑连续性和足够的拓扑描述能力,无疑在二维问题中就要使用上千甚至上万个设计变量. ...
Topology optimization in B-spline space
1
2013
... 为消除传统变密度法的网格依赖性和棋盘格等数值不稳定现象,Guest等[7 ] 发展出节点密度法,并借助Heaviside阶跃函数得到清晰的0-1材料分布;为克服传统水平集法的数值计算困难以提升其优化效率和通用性,Wang等[8 ] 发明出参数化水平集法,无需直接求解Hamilton-Jacobi偏微分方程且可配合使用成熟的优化算法.节点密度法[9 -10 ] 和参数化水平集法[11 -13 ] 虽属于不同类型的拓扑优化方法,却有着一定的相似之处：结构模型由高一维的隐函数描述,此隐函数又由高阶连续的插值函数构造而成,它在节点密度法中就是具有[0 ,1 ] 界限的密度场,在参数化水平集法中就是水平集函数.Sigmund等[14 ] 认为近期不同类型拓扑优化方法的发展使其之间的差异越来越小.然而,该发展趋势下形成的新方法在减少设计变量方面的效果甚微.节点密度法和参数化水平集法所采用的插值函数的数量需能够保证密度场/水平集函数具有一定的光滑连续性和足够的拓扑描述能力,无疑在二维问题中就要使用上千甚至上万个设计变量. ...
A level set-based parameterization method for structural shape and topology optimization
1
2008
... 为消除传统变密度法的网格依赖性和棋盘格等数值不稳定现象,Guest等[7 ] 发展出节点密度法,并借助Heaviside阶跃函数得到清晰的0-1材料分布;为克服传统水平集法的数值计算困难以提升其优化效率和通用性,Wang等[8 ] 发明出参数化水平集法,无需直接求解Hamilton-Jacobi偏微分方程且可配合使用成熟的优化算法.节点密度法[9 -10 ] 和参数化水平集法[11 -13 ] 虽属于不同类型的拓扑优化方法,却有着一定的相似之处：结构模型由高一维的隐函数描述,此隐函数又由高阶连续的插值函数构造而成,它在节点密度法中就是具有[0 ,1 ] 界限的密度场,在参数化水平集法中就是水平集函数.Sigmund等[14 ] 认为近期不同类型拓扑优化方法的发展使其之间的差异越来越小.然而,该发展趋势下形成的新方法在减少设计变量方面的效果甚微.节点密度法和参数化水平集法所采用的插值函数的数量需能够保证密度场/水平集函数具有一定的光滑连续性和足够的拓扑描述能力,无疑在二维问题中就要使用上千甚至上万个设计变量. ...
An 88-line MATLAB code for the parameterized level set method based topology optimization using radial basis functions
1
2018
... 值得一提的是,自适应泡泡法的三个主要模块——固定网格分析、孔洞自适应引入和孔洞隐式描述并不局限于采用前面所述的方式,也可分别使用传统有限元方法(边界单元刚度依据单元体分比进行打折)[12 ] 、渐进结构法的材料消除策略[3 ] 以及闭合B样条曲线(closedB-splines)[28 ] .这种替代方案能够以降低一定精度为代价,有效简化结构力学响应和灵敏度等的计算过程,从而大幅提升优化效率.相应的简化后的自适应泡泡法与渐进结构法有着较大的相似性,区别在于前者消除材料的方式是引入边界光滑可变的孔洞,而且孔洞引入的频次和位置可被自适应地调整. ...
Parametric shape and topology optimization: A new level set approach based on cardinal basis functions
1
2018
... 为消除传统变密度法的网格依赖性和棋盘格等数值不稳定现象,Guest等[7 ] 发展出节点密度法,并借助Heaviside阶跃函数得到清晰的0-1材料分布;为克服传统水平集法的数值计算困难以提升其优化效率和通用性,Wang等[8 ] 发明出参数化水平集法,无需直接求解Hamilton-Jacobi偏微分方程且可配合使用成熟的优化算法.节点密度法[9 -10 ] 和参数化水平集法[11 -13 ] 虽属于不同类型的拓扑优化方法,却有着一定的相似之处：结构模型由高一维的隐函数描述,此隐函数又由高阶连续的插值函数构造而成,它在节点密度法中就是具有[0 ,1 ] 界限的密度场,在参数化水平集法中就是水平集函数.Sigmund等[14 ] 认为近期不同类型拓扑优化方法的发展使其之间的差异越来越小.然而,该发展趋势下形成的新方法在减少设计变量方面的效果甚微.节点密度法和参数化水平集法所采用的插值函数的数量需能够保证密度场/水平集函数具有一定的光滑连续性和足够的拓扑描述能力,无疑在二维问题中就要使用上千甚至上万个设计变量. ...
Topology optimization approaches: A comparative review
1
2013
... 为消除传统变密度法的网格依赖性和棋盘格等数值不稳定现象,Guest等[7 ] 发展出节点密度法,并借助Heaviside阶跃函数得到清晰的0-1材料分布;为克服传统水平集法的数值计算困难以提升其优化效率和通用性,Wang等[8 ] 发明出参数化水平集法,无需直接求解Hamilton-Jacobi偏微分方程且可配合使用成熟的优化算法.节点密度法[9 -10 ] 和参数化水平集法[11 -13 ] 虽属于不同类型的拓扑优化方法,却有着一定的相似之处：结构模型由高一维的隐函数描述,此隐函数又由高阶连续的插值函数构造而成,它在节点密度法中就是具有[0 ,1 ] 界限的密度场,在参数化水平集法中就是水平集函数.Sigmund等[14 ] 认为近期不同类型拓扑优化方法的发展使其之间的差异越来越小.然而,该发展趋势下形成的新方法在减少设计变量方面的效果甚微.节点密度法和参数化水平集法所采用的插值函数的数量需能够保证密度场/水平集函数具有一定的光滑连续性和足够的拓扑描述能力,无疑在二维问题中就要使用上千甚至上万个设计变量. ...
Bubble method for topology and shape optimization of structures
2
1994
... Eschenauer等[15 ] 早期提出的泡泡法能够在保证拓扑优化设计精度的条件下有效降低变量数目：采用参数化B样条曲线精确表达孔洞边界,使用沿结构边界生成的有限元网格保证分析精度,通过逐步增加新孔丰富设计变量数目.但是,所采用的有限元拉格朗日网格给泡泡法的实施带来了极大不便,每次优化迭代后均需调整甚至重新划分网格.而近年来兴起的特征驱动类拓扑优化方法[16 -21 ] 则采用了固定网格分析方式,并将具有一定造型能力且参数少的实体/空洞特征作为设计要素,通过特征的移动和变形,达到少变量高精度拓扑优化设计的目的.然而,这类方法需要在初始设计中布局数量充足的特征要素,难免会造成设计变量的浪费,并且存在初始布局依赖性问题(见图1 ). ...
... 拓扑导数的概念源于泡泡法[15 ] ,反映了无限小单一区域的扰动(引入孔洞、夹杂、源项甚至裂纹等)对给定函数的影响.Sokolowski等[25 ] 给出了一般性拓扑导数推导过程,Novotny等[26 ] 证明了拓扑导数是形状灵敏度的极限,使得拓扑导数的推导可以采用理论成熟的形状灵敏度分析方法.Novotny和Sokolowski[27 ] 详细介绍了拓扑导数的概念、基本理论以及在各类问题中的应用. ...
Description of structure shape implicitly using KS function
1
2013
... Eschenauer等[15 ] 早期提出的泡泡法能够在保证拓扑优化设计精度的条件下有效降低变量数目：采用参数化B样条曲线精确表达孔洞边界,使用沿结构边界生成的有限元网格保证分析精度,通过逐步增加新孔丰富设计变量数目.但是,所采用的有限元拉格朗日网格给泡泡法的实施带来了极大不便,每次优化迭代后均需调整甚至重新划分网格.而近年来兴起的特征驱动类拓扑优化方法[16 -21 ] 则采用了固定网格分析方式,并将具有一定造型能力且参数少的实体/空洞特征作为设计要素,通过特征的移动和变形,达到少变量高精度拓扑优化设计的目的.然而,这类方法需要在初始设计中布局数量充足的特征要素,难免会造成设计变量的浪费,并且存在初始布局依赖性问题(见图1 ). ...
A comprehensive study of feature definitions with solids and voids for topology optimization
2017
Feature-driven topology optimization method with signed distance function
2016
Doing topology optimization explicitly and geometrically--A new moving morphable components based framework
2014
Topology optimization using moving morphable bars for versatile thickness control
2
2017
... 本研究在借鉴特征驱动类方法的优点的基础上,对传统泡泡法进行改进,提出一种基于固定网格和拓扑导数的自适应泡泡拓扑优化方法.该方法采用有限胞元方法
[22 -24 ] 在固定网格下计算结构力学响应,避免了传统泡泡法中繁琐的网格更新和重划分操作;优化迭代时通过综合考虑拓扑导数信息
[25 -27 ] 和创新性地设置孔洞影响区域,不仅能自适应地在合理位置逐步引入新的孔洞,还能克服特征驱动类方法中存在的初始布局依赖性,从而有效提升了数值计算稳定性;同时采用参数少且变形能力强的光滑变形隐式曲线
[28 -30 ] 描述孔洞边界,有效减少了设计变量.本文首先介绍了自适应泡泡法的3个主要模块(固定网格分析、孔洞自适应引入和孔洞隐式描述),然后建立优化模型并给出解析灵敏度计算公式,最后通过经典悬臂梁和简支梁算例验证了方法的有 效性.
10.6052/0459-1879-18-455.F001 图1 初始布局依赖性问题<sup>[<xref ref-type="bibr" rid="b20">20</xref>]</sup> The initial layout dependency problem<sup>[<xref ref-type="bibr" rid="b20">20</xref>]</sup> Fig. 1 ![]()
1 自适应泡泡法 1.1 有限胞元固定网格分析方法 有限胞元方法(finite cellmethod,FCM)[22 ] 和扩展有限元方法(eXtended finite elementmethod,XFEM)[31 ] 是两种常见的高精度固定网格分析方法.前者在本质上是一种采用高阶形函数逼近待求物理场的虚拟区域法;后者的核心思想是通过改进形函数处理单元内材料属性存在的不连续性.由于本文工作仅涉及单材料结构的拓扑优化设计,而且考虑到高阶形函数可以带来较高的分析精度,因此选用FCM计算结构力学响应. ...
... [
20 ]
Fig. 1 ![]()
1 自适应泡泡法 1.1 有限胞元固定网格分析方法 有限胞元方法(finite cellmethod,FCM)[22 ] 和扩展有限元方法(eXtended finite elementmethod,XFEM)[31 ] 是两种常见的高精度固定网格分析方法.前者在本质上是一种采用高阶形函数逼近待求物理场的虚拟区域法;后者的核心思想是通过改进形函数处理单元内材料属性存在的不连续性.由于本文工作仅涉及单材料结构的拓扑优化设计,而且考虑到高阶形函数可以带来较高的分析精度,因此选用FCM计算结构力学响应. ...
An explicit optimization model for integrated layout design of planar multi-component systems using moving morphable bars
1
2018
... Eschenauer等[15 ] 早期提出的泡泡法能够在保证拓扑优化设计精度的条件下有效降低变量数目：采用参数化B样条曲线精确表达孔洞边界,使用沿结构边界生成的有限元网格保证分析精度,通过逐步增加新孔丰富设计变量数目.但是,所采用的有限元拉格朗日网格给泡泡法的实施带来了极大不便,每次优化迭代后均需调整甚至重新划分网格.而近年来兴起的特征驱动类拓扑优化方法[16 -21 ] 则采用了固定网格分析方式,并将具有一定造型能力且参数少的实体/空洞特征作为设计要素,通过特征的移动和变形,达到少变量高精度拓扑优化设计的目的.然而,这类方法需要在初始设计中布局数量充足的特征要素,难免会造成设计变量的浪费,并且存在初始布局依赖性问题(见图1 ). ...
Finite cell method
2
2007
... 本研究在借鉴特征驱动类方法的优点的基础上,对传统泡泡法进行改进,提出一种基于固定网格和拓扑导数的自适应泡泡拓扑优化方法.该方法采用有限胞元方法[22 -24 ] 在固定网格下计算结构力学响应,避免了传统泡泡法中繁琐的网格更新和重划分操作;优化迭代时通过综合考虑拓扑导数信息[25 -27 ] 和创新性地设置孔洞影响区域,不仅能自适应地在合理位置逐步引入新的孔洞,还能克服特征驱动类方法中存在的初始布局依赖性,从而有效提升了数值计算稳定性;同时采用参数少且变形能力强的光滑变形隐式曲线[28 -30 ] 描述孔洞边界,有效减少了设计变量.本文首先介绍了自适应泡泡法的3个主要模块(固定网格分析、孔洞自适应引入和孔洞隐式描述),然后建立优化模型并给出解析灵敏度计算公式,最后通过经典悬臂梁和简支梁算例验证了方法的有 效性. ...
... 有限胞元方法(finite cellmethod,FCM)[22 ] 和扩展有限元方法(eXtended finite elementmethod,XFEM)[31 ] 是两种常见的高精度固定网格分析方法.前者在本质上是一种采用高阶形函数逼近待求物理场的虚拟区域法;后者的核心思想是通过改进形函数处理单元内材料属性存在的不连续性.由于本文工作仅涉及单材料结构的拓扑优化设计,而且考虑到高阶形函数可以带来较高的分析精度,因此选用FCM计算结构力学响应. ...
The finite cell method for three-dimensional problems of solid mechanics
2008
Stress constrained shape and topology optimization with fixed mesh: A B-spline finite cell method combined with level set function
2
2014
... 本研究在借鉴特征驱动类方法的优点的基础上,对传统泡泡法进行改进,提出一种基于固定网格和拓扑导数的自适应泡泡拓扑优化方法.该方法采用有限胞元方法[22 -24 ] 在固定网格下计算结构力学响应,避免了传统泡泡法中繁琐的网格更新和重划分操作;优化迭代时通过综合考虑拓扑导数信息[25 -27 ] 和创新性地设置孔洞影响区域,不仅能自适应地在合理位置逐步引入新的孔洞,还能克服特征驱动类方法中存在的初始布局依赖性,从而有效提升了数值计算稳定性;同时采用参数少且变形能力强的光滑变形隐式曲线[28 -30 ] 描述孔洞边界,有效减少了设计变量.本文首先介绍了自适应泡泡法的3个主要模块(固定网格分析、孔洞自适应引入和孔洞隐式描述),然后建立优化模型并给出解析灵敏度计算公式,最后通过经典悬臂梁和简支梁算例验证了方法的有 效性. ...
... 式中,$ extbf{B}$为应变矩阵,$ extbf{D}$为弹性矩阵, $ extbf{N}$为形函数矩阵(本工作采用双二次B样条基函数作为形函数[24 ] ),$ extbf{f}$为体积力向量,$ extbf{t}$为边界力向量,$\beta $为定义如下的标量因子 \begin{equation} \label{eq4} \beta=\left\{ {{\begin{array}{ll} 1, &\mbox{in }\varOmega \\ 0, & {\mbox{in }D/ \varOmega } \\ \end{array} }} \right.(4) \end{equation} ...
On the topological derivative in shape optimization
2
1999
... 本研究在借鉴特征驱动类方法的优点的基础上,对传统泡泡法进行改进,提出一种基于固定网格和拓扑导数的自适应泡泡拓扑优化方法.该方法采用有限胞元方法[22 -24 ] 在固定网格下计算结构力学响应,避免了传统泡泡法中繁琐的网格更新和重划分操作;优化迭代时通过综合考虑拓扑导数信息[25 -27 ] 和创新性地设置孔洞影响区域,不仅能自适应地在合理位置逐步引入新的孔洞,还能克服特征驱动类方法中存在的初始布局依赖性,从而有效提升了数值计算稳定性;同时采用参数少且变形能力强的光滑变形隐式曲线[28 -30 ] 描述孔洞边界,有效减少了设计变量.本文首先介绍了自适应泡泡法的3个主要模块(固定网格分析、孔洞自适应引入和孔洞隐式描述),然后建立优化模型并给出解析灵敏度计算公式,最后通过经典悬臂梁和简支梁算例验证了方法的有 效性. ...
... 拓扑导数的概念源于泡泡法[15 ] ,反映了无限小单一区域的扰动(引入孔洞、夹杂、源项甚至裂纹等)对给定函数的影响.Sokolowski等[25 ] 给出了一般性拓扑导数推导过程,Novotny等[26 ] 证明了拓扑导数是形状灵敏度的极限,使得拓扑导数的推导可以采用理论成熟的形状灵敏度分析方法.Novotny和Sokolowski[27 ] 详细介绍了拓扑导数的概念、基本理论以及在各类问题中的应用. ...
Topological sensitivity analysis
1
2003
... 拓扑导数的概念源于泡泡法[15 ] ,反映了无限小单一区域的扰动(引入孔洞、夹杂、源项甚至裂纹等)对给定函数的影响.Sokolowski等[25 ] 给出了一般性拓扑导数推导过程,Novotny等[26 ] 证明了拓扑导数是形状灵敏度的极限,使得拓扑导数的推导可以采用理论成熟的形状灵敏度分析方法.Novotny和Sokolowski[27 ] 详细介绍了拓扑导数的概念、基本理论以及在各类问题中的应用. ...
Topological Derivatives in Shape Optimization.
3
2013
... 本研究在借鉴特征驱动类方法的优点的基础上,对传统泡泡法进行改进,提出一种基于固定网格和拓扑导数的自适应泡泡拓扑优化方法.该方法采用有限胞元方法[22 -24 ] 在固定网格下计算结构力学响应,避免了传统泡泡法中繁琐的网格更新和重划分操作;优化迭代时通过综合考虑拓扑导数信息[25 -27 ] 和创新性地设置孔洞影响区域,不仅能自适应地在合理位置逐步引入新的孔洞,还能克服特征驱动类方法中存在的初始布局依赖性,从而有效提升了数值计算稳定性;同时采用参数少且变形能力强的光滑变形隐式曲线[28 -30 ] 描述孔洞边界,有效减少了设计变量.本文首先介绍了自适应泡泡法的3个主要模块(固定网格分析、孔洞自适应引入和孔洞隐式描述),然后建立优化模型并给出解析灵敏度计算公式,最后通过经典悬臂梁和简支梁算例验证了方法的有 效性. ...
... 拓扑导数的概念源于泡泡法[15 ] ,反映了无限小单一区域的扰动(引入孔洞、夹杂、源项甚至裂纹等)对给定函数的影响.Sokolowski等[25 ] 给出了一般性拓扑导数推导过程,Novotny等[26 ] 证明了拓扑导数是形状灵敏度的极限,使得拓扑导数的推导可以采用理论成熟的形状灵敏度分析方法.Novotny和Sokolowski[27 ] 详细介绍了拓扑导数的概念、基本理论以及在各类问题中的应用. ...
... 对于平面应力问题,若不考虑体积力等设计相关性载荷,则结构柔顺度($J$=$F^{ T}$$ extbf{U}$)对结构内任意一点($ extbf{x}$$_{\varOmega } \in $$\varOmega $)处的圆孔引入的拓扑导数为[27 ] \begin{equation} \label{eq5} \begin{array}{l} D_{T} ({{\boldsymbol x}}_\varOmega )=\dfrac{4}{1 +
u }{{\boldsymbol S}}({ {\boldsymbol x}}_\varOmega ):{{\boldsymbol E}}({{\boldsymbol x}}_\varOmega )-\\ \qquad \dfrac{1-3
u }{1-
u ^2}\mbox{tr}\left( {{{\boldsymbol S}}({{\boldsymbol x}}_\varOmega )} \right)\mbox{tr}\left( {{{\boldsymbol E}}({{\boldsymbol x}}_\varOmega )} \right) \\ \end{array} (5) \end{equation} 式中,$ extbf{S}$为应力张量,$ extbf{E}$为应变张量,$
u $为泊松比,tr($\cdot )$表示张量的迹. 二阶张量$ extbf{S}$($ extbf{x}$$_{\varOmega })$和$ extbf{E}$($ extbf{x}$$_{\varOmega })$在笛卡尔坐标系下对应的矩阵为 ...
Topology optimization with closed B-splines and Boolean operations
3
2017
... 本研究在借鉴特征驱动类方法的优点的基础上,对传统泡泡法进行改进,提出一种基于固定网格和拓扑导数的自适应泡泡拓扑优化方法.该方法采用有限胞元方法[22 -24 ] 在固定网格下计算结构力学响应,避免了传统泡泡法中繁琐的网格更新和重划分操作;优化迭代时通过综合考虑拓扑导数信息[25 -27 ] 和创新性地设置孔洞影响区域,不仅能自适应地在合理位置逐步引入新的孔洞,还能克服特征驱动类方法中存在的初始布局依赖性,从而有效提升了数值计算稳定性;同时采用参数少且变形能力强的光滑变形隐式曲线[28 -30 ] 描述孔洞边界,有效减少了设计变量.本文首先介绍了自适应泡泡法的3个主要模块(固定网格分析、孔洞自适应引入和孔洞隐式描述),然后建立优化模型并给出解析灵敏度计算公式,最后通过经典悬臂梁和简支梁算例验证了方法的有 效性. ...
... 若将式(11)中的形状指数$\varepsilon$设为常数1,则光滑变形隐式曲线退化为文献[28 ] 中定义的闭合B样条曲线(closedB-splines),此时$R( heta $)即为极角$ heta$对应的极径;若$\varepsilon$不等于1,则$R( heta )$仍与极角$ heta$处的极径成正相关关系.图4 (a)展示了光滑变形隐式曲线的构建原理,由此图和式(11)~式(13)可知,调整控制参数$P_{i}$会使$R( heta)$发生变化,而极坐标系中隐式曲线上点的极径$\rho( heta )$与$R( heta)$正相关,则隐式曲线的形状也因此发生改变. ...
... 值得一提的是,自适应泡泡法的三个主要模块——固定网格分析、孔洞自适应引入和孔洞隐式描述并不局限于采用前面所述的方式,也可分别使用传统有限元方法(边界单元刚度依据单元体分比进行打折)[12 ] 、渐进结构法的材料消除策略[3 ] 以及闭合B样条曲线(closedB-splines)[28 ] .这种替代方案能够以降低一定精度为代价,有效简化结构力学响应和灵敏度等的计算过程,从而大幅提升优化效率.相应的简化后的自适应泡泡法与渐进结构法有着较大的相似性,区别在于前者消除材料的方式是引入边界光滑可变的孔洞,而且孔洞引入的频次和位置可被自适应地调整. ...
CBS-based topology optimization including design-dependent body loads
2017
基于光滑变形隐式曲线的模型重构、应力分析与优化设计一体化方法
2
2018
... 本研究在借鉴特征驱动类方法的优点的基础上,对传统泡泡法进行改进,提出一种基于固定网格和拓扑导数的自适应泡泡拓扑优化方法.该方法采用有限胞元方法[22 -24 ] 在固定网格下计算结构力学响应,避免了传统泡泡法中繁琐的网格更新和重划分操作;优化迭代时通过综合考虑拓扑导数信息[25 -27 ] 和创新性地设置孔洞影响区域,不仅能自适应地在合理位置逐步引入新的孔洞,还能克服特征驱动类方法中存在的初始布局依赖性,从而有效提升了数值计算稳定性;同时采用参数少且变形能力强的光滑变形隐式曲线[28 -30 ] 描述孔洞边界,有效减少了设计变量.本文首先介绍了自适应泡泡法的3个主要模块(固定网格分析、孔洞自适应引入和孔洞隐式描述),然后建立优化模型并给出解析灵敏度计算公式,最后通过经典悬臂梁和简支梁算例验证了方法的有 效性. ...
... 为进一步提高超二次曲线的表达能力,使其能够描述非对称几何模型,周林等[32 -33 ] 将超二次曲线的形状指数$\varepsilon$扩展成极角的函数,形成了扩展超二次曲线.本工作借鉴了此思想,将超二次曲线的半轴长$a$和$b$扩展成极角的函数,定义出表达能力(也即变形能力)更强的光滑变形隐式曲线[30 ] ,用隐式形式表示如下\begin{equation} \label{eq11} \left| {\frac{x}{R\left( heta \right)}} \right|^{2 / \varepsilon } + \left| {\frac{y}{R\left( heta \right)}} \right|^{2 / \varepsilon }-1=0 (11) \end{equation}其中,$ heta $为极坐标系中的极角,半轴长函数$R$($ heta $)可借助B样条基函数定义为 \begin{equation} \label{eq12} R( heta )=\sum\limits_{j=1}^n {N_{j,p} \left( \xi \right)P_j }=\sum\limits_{j=1}^n {N_{j,p} \left( {\frac{ heta + \pi / 2}{2\pi }} \right)P_j } (12) \end{equation} 式中,$N_{j, p}(\xi )$为B样条基函数;$n$是B样条基函数的个数;$p$是B样条基函数的次数(本工作中的$p$取为2);$\xi $为参数区域坐标,$P_{j}$为控制参数,$P_{j}$恒为正且满足$P_{1}$=$ P_{n}$=($P_{2}+P_{n-1})$/2,极角$ heta $可表示为坐标($x$, $y)$的函数 \begin{equation} \label{eq13} heta=\arctan \frac{y}{x} + {sgn}x\left( {{ sgn}x-1} \right)\frac{\pi }{2} (13) \end{equation} 由上式可知$ heta $的值域为$[-\pi /2, 3\pi /2)$,则式(12)中参数区域坐标$\xi $的取值范围为$[0, 1)$. ...
基于光滑变形隐式曲线的模型重构、应力分析与优化设计一体化方法
2
2018
... 本研究在借鉴特征驱动类方法的优点的基础上,对传统泡泡法进行改进,提出一种基于固定网格和拓扑导数的自适应泡泡拓扑优化方法.该方法采用有限胞元方法[22 -24 ] 在固定网格下计算结构力学响应,避免了传统泡泡法中繁琐的网格更新和重划分操作;优化迭代时通过综合考虑拓扑导数信息[25 -27 ] 和创新性地设置孔洞影响区域,不仅能自适应地在合理位置逐步引入新的孔洞,还能克服特征驱动类方法中存在的初始布局依赖性,从而有效提升了数值计算稳定性;同时采用参数少且变形能力强的光滑变形隐式曲线[28 -30 ] 描述孔洞边界,有效减少了设计变量.本文首先介绍了自适应泡泡法的3个主要模块(固定网格分析、孔洞自适应引入和孔洞隐式描述),然后建立优化模型并给出解析灵敏度计算公式,最后通过经典悬臂梁和简支梁算例验证了方法的有 效性. ...
... 为进一步提高超二次曲线的表达能力,使其能够描述非对称几何模型,周林等[32 -33 ] 将超二次曲线的形状指数$\varepsilon$扩展成极角的函数,形成了扩展超二次曲线.本工作借鉴了此思想,将超二次曲线的半轴长$a$和$b$扩展成极角的函数,定义出表达能力(也即变形能力)更强的光滑变形隐式曲线[30 ] ,用隐式形式表示如下\begin{equation} \label{eq11} \left| {\frac{x}{R\left( heta \right)}} \right|^{2 / \varepsilon } + \left| {\frac{y}{R\left( heta \right)}} \right|^{2 / \varepsilon }-1=0 (11) \end{equation}其中,$ heta $为极坐标系中的极角,半轴长函数$R$($ heta $)可借助B样条基函数定义为 \begin{equation} \label{eq12} R( heta )=\sum\limits_{j=1}^n {N_{j,p} \left( \xi \right)P_j }=\sum\limits_{j=1}^n {N_{j,p} \left( {\frac{ heta + \pi / 2}{2\pi }} \right)P_j } (12) \end{equation} 式中,$N_{j, p}(\xi )$为B样条基函数;$n$是B样条基函数的个数;$p$是B样条基函数的次数(本工作中的$p$取为2);$\xi $为参数区域坐标,$P_{j}$为控制参数,$P_{j}$恒为正且满足$P_{1}$=$ P_{n}$=($P_{2}+P_{n-1})$/2,极角$ heta $可表示为坐标($x$, $y)$的函数 \begin{equation} \label{eq13} heta=\arctan \frac{y}{x} + {sgn}x\left( {{ sgn}x-1} \right)\frac{\pi }{2} (13) \end{equation} 由上式可知$ heta $的值域为$[-\pi /2, 3\pi /2)$,则式(12)中参数区域坐标$\xi $的取值范围为$[0, 1)$. ...
The extended/generalized finite element method: An overview of the method and its applications
1
2010
... 有限胞元方法(finite cellmethod,FCM)[22 ] 和扩展有限元方法(eXtended finite elementmethod,XFEM)[31 ] 是两种常见的高精度固定网格分析方法.前者在本质上是一种采用高阶形函数逼近待求物理场的虚拟区域法;后者的核心思想是通过改进形函数处理单元内材料属性存在的不连续性.由于本文工作仅涉及单材料结构的拓扑优化设计,而且考虑到高阶形函数可以带来较高的分析精度,因此选用FCM计算结构力学响应. ...
Extending superquadrics with exponent functions: Modeling and reconstruction
1
2001
... 为进一步提高超二次曲线的表达能力,使其能够描述非对称几何模型,周林等[32 -33 ] 将超二次曲线的形状指数$\varepsilon$扩展成极角的函数,形成了扩展超二次曲线.本工作借鉴了此思想,将超二次曲线的半轴长$a$和$b$扩展成极角的函数,定义出表达能力(也即变形能力)更强的光滑变形隐式曲线[30 ] ,用隐式形式表示如下\begin{equation} \label{eq11} \left| {\frac{x}{R\left( heta \right)}} \right|^{2 / \varepsilon } + \left| {\frac{y}{R\left( heta \right)}} \right|^{2 / \varepsilon }-1=0 (11) \end{equation}其中,$ heta $为极坐标系中的极角,半轴长函数$R$($ heta $)可借助B样条基函数定义为 \begin{equation} \label{eq12} R( heta )=\sum\limits_{j=1}^n {N_{j,p} \left( \xi \right)P_j }=\sum\limits_{j=1}^n {N_{j,p} \left( {\frac{ heta + \pi / 2}{2\pi }} \right)P_j } (12) \end{equation} 式中,$N_{j, p}(\xi )$为B样条基函数;$n$是B样条基函数的个数;$p$是B样条基函数的次数(本工作中的$p$取为2);$\xi $为参数区域坐标,$P_{j}$为控制参数,$P_{j}$恒为正且满足$P_{1}$=$ P_{n}$=($P_{2}+P_{n-1})$/2,极角$ heta $可表示为坐标($x$, $y)$的函数 \begin{equation} \label{eq13} heta=\arctan \frac{y}{x} + {sgn}x\left( {{ sgn}x-1} \right)\frac{\pi }{2} (13) \end{equation} 由上式可知$ heta $的值域为$[-\pi /2, 3\pi /2)$,则式(12)中参数区域坐标$\xi $的取值范围为$[0, 1)$. ...
扩展超二次曲面: 一种新的光滑变形曲面模型
1
1998
... 为进一步提高超二次曲线的表达能力,使其能够描述非对称几何模型,周林等[32 -33 ] 将超二次曲线的形状指数$\varepsilon$扩展成极角的函数,形成了扩展超二次曲线.本工作借鉴了此思想,将超二次曲线的半轴长$a$和$b$扩展成极角的函数,定义出表达能力(也即变形能力)更强的光滑变形隐式曲线[30 ] ,用隐式形式表示如下\begin{equation} \label{eq11} \left| {\frac{x}{R\left( heta \right)}} \right|^{2 / \varepsilon } + \left| {\frac{y}{R\left( heta \right)}} \right|^{2 / \varepsilon }-1=0 (11) \end{equation}其中,$ heta $为极坐标系中的极角,半轴长函数$R$($ heta $)可借助B样条基函数定义为 \begin{equation} \label{eq12} R( heta )=\sum\limits_{j=1}^n {N_{j,p} \left( \xi \right)P_j }=\sum\limits_{j=1}^n {N_{j,p} \left( {\frac{ heta + \pi / 2}{2\pi }} \right)P_j } (12) \end{equation} 式中,$N_{j, p}(\xi )$为B样条基函数;$n$是B样条基函数的个数;$p$是B样条基函数的次数(本工作中的$p$取为2);$\xi $为参数区域坐标,$P_{j}$为控制参数,$P_{j}$恒为正且满足$P_{1}$=$ P_{n}$=($P_{2}+P_{n-1})$/2,极角$ heta $可表示为坐标($x$, $y)$的函数 \begin{equation} \label{eq13} heta=\arctan \frac{y}{x} + {sgn}x\left( {{ sgn}x-1} \right)\frac{\pi }{2} (13) \end{equation} 由上式可知$ heta $的值域为$[-\pi /2, 3\pi /2)$,则式(12)中参数区域坐标$\xi $的取值范围为$[0, 1)$. ...
扩展超二次曲面: 一种新的光滑变形曲面模型
1
1998
... 为进一步提高超二次曲线的表达能力,使其能够描述非对称几何模型,周林等[32 -33 ] 将超二次曲线的形状指数$\varepsilon$扩展成极角的函数,形成了扩展超二次曲线.本工作借鉴了此思想,将超二次曲线的半轴长$a$和$b$扩展成极角的函数,定义出表达能力(也即变形能力)更强的光滑变形隐式曲线[30 ] ,用隐式形式表示如下\begin{equation} \label{eq11} \left| {\frac{x}{R\left( heta \right)}} \right|^{2 / \varepsilon } + \left| {\frac{y}{R\left( heta \right)}} \right|^{2 / \varepsilon }-1=0 (11) \end{equation}其中,$ heta $为极坐标系中的极角,半轴长函数$R$($ heta $)可借助B样条基函数定义为 \begin{equation} \label{eq12} R( heta )=\sum\limits_{j=1}^n {N_{j,p} \left( \xi \right)P_j }=\sum\limits_{j=1}^n {N_{j,p} \left( {\frac{ heta + \pi / 2}{2\pi }} \right)P_j } (12) \end{equation} 式中,$N_{j, p}(\xi )$为B样条基函数;$n$是B样条基函数的个数;$p$是B样条基函数的次数(本工作中的$p$取为2);$\xi $为参数区域坐标,$P_{j}$为控制参数,$P_{j}$恒为正且满足$P_{1}$=$ P_{n}$=($P_{2}+P_{n-1})$/2,极角$ heta $可表示为坐标($x$, $y)$的函数 \begin{equation} \label{eq13} heta=\arctan \frac{y}{x} + {sgn}x\left( {{ sgn}x-1} \right)\frac{\pi }{2} (13) \end{equation} 由上式可知$ heta $的值域为$[-\pi /2, 3\pi /2)$,则式(12)中参数区域坐标$\xi $的取值范围为$[0, 1)$. ...
R--函数理论介绍及其应用评述
1
2001
... 式中,($x_{i}$, $y_{i})^{T}$是构建第$i$个孔洞所用的极坐标系的极点(参见图4 (a)中的$O$点),$R_{i}( heta_{i}),\varepsilon _{i}, heta _{i},P_{i, j}$和$\xi_{i}$分别是第$i$个孔洞的半轴长函数、形状指数、极角、控制参数和参数区域坐标.本工作中每个孔洞的B样条基函数$N_{j,p}$及其个数$n$都一样,因此在上式中没有添加标注$i$.如果已知计算域$D$的隐函数$\varPhi_{D}(\varPhi _{D}>0$时表示$D$,$\varPhi_{D}$可基于R函数理论精确得到[34 ] ),则结构区域$\varOmega$的隐函数为 \begin{equation} \label{eq18} \varPhi _\varOmega=\min \left\{ {\varPhi _D ,\left\{ {\varphi _i } \right\}_{i=1}^{num} } \right\} (18) \end{equation}式中,$num$为已引入的孔洞数量,在优化迭代中会逐渐增加,$\varPhi_{\varOmega}$满足 \begin{equation} \label{eq19} \left. {{\begin{array}{l} {\varPhi _\varOmega ({{\boldsymbol x}})=0,} \\ {\varPhi _\varOmega ({{\boldsymbol x}}) > 0,} \\ {\varPhi _\varOmega ({{\boldsymbol x}}) < 0,} \\ \end{array} }\mbox{ }{\begin{array}{l} {\forall {{\boldsymbol x}} \in \partial \varOmega } \\ {\forall {{\boldsymbol x}} \in \varOmega / \partial \varOmega } \\ {\forall {{\boldsymbol x}} \in D / \varOmega } \\ \end{array} }} \right\} (19) \end{equation} 由上式可知,根据$\varPhi_{\varOmega }$的正负性可以直接判断出点$ extbf{x}$是否位于结构区域$\varOmega $之内,从而就能很好地与有限胞元方法进行结合以实施胞元类型识别、四叉树细化和高斯积分点区分等步骤. 而且结合Heaviside函数$H(\cdot)$还可将式(4)定义的$\beta $用$\varPhi $$_{\varOmega }$表示为 \begin{equation} \label{eq20} \beta \mbox{=}H\left( {\varPhi _\varOmega \left( { {\boldsymbol x}} \right)} \right)=\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {1,} \\ {0,} \\ \end{array} }\mbox{ }{\begin{array}{*{20}c} {\varPhi _\varOmega \left( {{\boldsymbol x}} \right) \ge 0} \\ {\varPhi _\varOmega \left( {{\boldsymbol x}} \right) < 0} \\ \end{array} }} \right. (20) \end{equation} ...
R--函数理论介绍及其应用评述
1
2001
... 式中,($x_{i}$, $y_{i})^{T}$是构建第$i$个孔洞所用的极坐标系的极点(参见图4 (a)中的$O$点),$R_{i}( heta_{i}),\varepsilon _{i}, heta _{i},P_{i, j}$和$\xi_{i}$分别是第$i$个孔洞的半轴长函数、形状指数、极角、控制参数和参数区域坐标.本工作中每个孔洞的B样条基函数$N_{j,p}$及其个数$n$都一样,因此在上式中没有添加标注$i$.如果已知计算域$D$的隐函数$\varPhi_{D}(\varPhi _{D}>0$时表示$D$,$\varPhi_{D}$可基于R函数理论精确得到[34 ] ),则结构区域$\varOmega$的隐函数为 \begin{equation} \label{eq18} \varPhi _\varOmega=\min \left\{ {\varPhi _D ,\left\{ {\varphi _i } \right\}_{i=1}^{num} } \right\} (18) \end{equation}式中,$num$为已引入的孔洞数量,在优化迭代中会逐渐增加,$\varPhi_{\varOmega}$满足 \begin{equation} \label{eq19} \left. {{\begin{array}{l} {\varPhi _\varOmega ({{\boldsymbol x}})=0,} \\ {\varPhi _\varOmega ({{\boldsymbol x}}) > 0,} \\ {\varPhi _\varOmega ({{\boldsymbol x}}) < 0,} \\ \end{array} }\mbox{ }{\begin{array}{l} {\forall {{\boldsymbol x}} \in \partial \varOmega } \\ {\forall {{\boldsymbol x}} \in \varOmega / \partial \varOmega } \\ {\forall {{\boldsymbol x}} \in D / \varOmega } \\ \end{array} }} \right\} (19) \end{equation} 由上式可知,根据$\varPhi_{\varOmega }$的正负性可以直接判断出点$ extbf{x}$是否位于结构区域$\varOmega $之内,从而就能很好地与有限胞元方法进行结合以实施胞元类型识别、四叉树细化和高斯积分点区分等步骤. 而且结合Heaviside函数$H(\cdot)$还可将式(4)定义的$\beta $用$\varPhi $$_{\varOmega }$表示为 \begin{equation} \label{eq20} \beta \mbox{=}H\left( {\varPhi _\varOmega \left( { {\boldsymbol x}} \right)} \right)=\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {1,} \\ {0,} \\ \end{array} }\mbox{ }{\begin{array}{*{20}c} {\varPhi _\varOmega \left( {{\boldsymbol x}} \right) \ge 0} \\ {\varPhi _\varOmega \left( {{\boldsymbol x}} \right) < 0} \\ \end{array} }} \right. (20) \end{equation} ...
1
2010
... 式中,B样条基函数$N_{j, p}$的导数计算方法可查看文献[35 ] .孔洞隐函数的梯度$
abla \varphi _i $可直接计算如下\begin{equation}\label{eq35}
abla \varphi _i=\left( {{\begin{array}{*{20}c} {\dfrac{\partial \varphi _i }{\partial x}} {\dfrac{\partial \varphi _i }{\partial y}} \\\end{array} }} \right)=\left( {{\begin{array}{*{20}c} {-\dfrac{\partial \varphi _i }{\partial x_i }} {-\dfrac{\partial \varphi _i }{\partial y_i }} \\\end{array} }} \right) (35)\end{equation} ...
1
2010
... 式中,B样条基函数$N_{j, p}$的导数计算方法可查看文献[35 ] .孔洞隐函数的梯度$
abla \varphi _i $可直接计算如下\begin{equation}\label{eq35}
abla \varphi _i=\left( {{\begin{array}{*{20}c} {\dfrac{\partial \varphi _i }{\partial x}} {\dfrac{\partial \varphi _i }{\partial y}} \\\end{array} }} \right)=\left( {{\begin{array}{*{20}c} {-\dfrac{\partial \varphi _i }{\partial x_i }} {-\dfrac{\partial \varphi _i }{\partial y_i }} \\\end{array} }} \right) (35)\end{equation} ...
BOSS QUATTRO: An open system for parametric design
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2002
... 算例中材料杨氏弹性模量和泊松比分别取为1和0.3,每个孔洞设有28个变量(参见式(23),其中$n=27$).体积上限$V_{lim}$设为初始结构体积的50%,优化算法选用Boss-Quattro$^{TM}$优化平台[36 ] 中的GCMMA(全局收敛移动渐近线算法),优化迭代终止条件为设计变量的最大变化率小于0.01%或迭代次数达到150. ...
基于改进的双向渐进结构优化法的应力约束拓扑优化
1
2018
... 进一步的研究将在自适应泡泡拓扑优化中考虑局部应力约束[37 -38 ] 、精确变形约束[39 -40 ] 、破损、安全设计原则[41 -42 ] 以及增材制造工艺约束[43 -44 ] 等,发展出一种面向工程设计与制造需求的高效率高精度拓扑优化方法. ...
基于改进的双向渐进结构优化法的应力约束拓扑优化
1
2018
... 进一步的研究将在自适应泡泡拓扑优化中考虑局部应力约束[37 -38 ] 、精确变形约束[39 -40 ] 、破损、安全设计原则[41 -42 ] 以及增材制造工艺约束[43 -44 ] 等,发展出一种面向工程设计与制造需求的高效率高精度拓扑优化方法. ...
Stress-based topology optimization using bi-directional evolutionary structural optimization method
1
2018
... 进一步的研究将在自适应泡泡拓扑优化中考虑局部应力约束[37 -38 ] 、精确变形约束[39 -40 ] 、破损、安全设计原则[41 -42 ] 以及增材制造工艺约束[43 -44 ] 等,发展出一种面向工程设计与制造需求的高效率高精度拓扑优化方法. ...
面向压电智能结构精确变形的协同优化设计方法
1
2017
... 进一步的研究将在自适应泡泡拓扑优化中考虑局部应力约束[37 -38 ] 、精确变形约束[39 -40 ] 、破损、安全设计原则[41 -42 ] 以及增材制造工艺约束[43 -44 ] 等,发展出一种面向工程设计与制造需求的高效率高精度拓扑优化方法. ...
面向压电智能结构精确变形的协同优化设计方法
1
2017
... 进一步的研究将在自适应泡泡拓扑优化中考虑局部应力约束[37 -38 ] 、精确变形约束[39 -40 ] 、破损、安全设计原则[41 -42 ] 以及增材制造工艺约束[43 -44 ] 等,发展出一种面向工程设计与制造需求的高效率高精度拓扑优化方法. ...
Structural topology optimization for directional deformation behavior design with the orthotropic artificial weak element method
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2018
... 进一步的研究将在自适应泡泡拓扑优化中考虑局部应力约束[37 -38 ] 、精确变形约束[39 -40 ] 、破损、安全设计原则[41 -42 ] 以及增材制造工艺约束[43 -44 ] 等,发展出一种面向工程设计与制造需求的高效率高精度拓扑优化方法. ...
Fail-safe topology optimization
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2016
... 进一步的研究将在自适应泡泡拓扑优化中考虑局部应力约束[37 -38 ] 、精确变形约束[39 -40 ] 、破损、安全设计原则[41 -42 ] 以及增材制造工艺约束[43 -44 ] 等,发展出一种面向工程设计与制造需求的高效率高精度拓扑优化方法. ...
考虑破损、安全的连续体结构拓扑优化ICM方法
1
2018
... 进一步的研究将在自适应泡泡拓扑优化中考虑局部应力约束[37 -38 ] 、精确变形约束[39 -40 ] 、破损、安全设计原则[41 -42 ] 以及增材制造工艺约束[43 -44 ] 等,发展出一种面向工程设计与制造需求的高效率高精度拓扑优化方法. ...
考虑破损、安全的连续体结构拓扑优化ICM方法
1
2018
... 进一步的研究将在自适应泡泡拓扑优化中考虑局部应力约束[37 -38 ] 、精确变形约束[39 -40 ] 、破损、安全设计原则[41 -42 ] 以及增材制造工艺约束[43 -44 ] 等,发展出一种面向工程设计与制造需求的高效率高精度拓扑优化方法. ...
拓扑优化与增材制造结合:一种设计与制造一体化方法
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2017
... 进一步的研究将在自适应泡泡拓扑优化中考虑局部应力约束[37 -38 ] 、精确变形约束[39 -40 ] 、破损、安全设计原则[41 -42 ] 以及增材制造工艺约束[43 -44 ] 等,发展出一种面向工程设计与制造需求的高效率高精度拓扑优化方法. ...
拓扑优化与增材制造结合:一种设计与制造一体化方法
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2017
... 进一步的研究将在自适应泡泡拓扑优化中考虑局部应力约束[37 -38 ] 、精确变形约束[39 -40 ] 、破损、安全设计原则[41 -42 ] 以及增材制造工艺约束[43 -44 ] 等,发展出一种面向工程设计与制造需求的高效率高精度拓扑优化方法. ...
From topology optimization design to additive manufacturing: Today's success and tomorrow's roadmap
1
2019
... 进一步的研究将在自适应泡泡拓扑优化中考虑局部应力约束[37 -38 ] 、精确变形约束[39 -40 ] 、破损、安全设计原则[41 -42 ] 以及增材制造工艺约束[43 -44 ] 等,发展出一种面向工程设计与制造需求的高效率高精度拓扑优化方法. ...
电话：020-88888888 / 13988888888
88888888
13988888888
020-88888888